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By Patrice Tauvel

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The Competitive Edge: Research Priorities for U.S. Manufacturing

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Comme sn − sn−1 = an pour n 1, il est alors clair que, si |x| < 1 : (1 − x) ∞ sn xn = f (x). n=0 2. Si |x| < 1, on a : ∞ 1 = xn . 1 − x n=0 Par conséquent, toujours pour |x| < 1 : ∞ f (x) − s = (sn − s)xn . 1−x n=0 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que |sn − s| donc : |f (x) − s| N (1 − x) ε si n n. Pour 0 < x < 1, on a |sn − s|xn + xN +1 ε; n=0 Il est alors immédiat que f (x) tend vers s qaund x tend vers 1 par valeurs inférieures. 3. D’après 1, les séries de termes généraux a n xn , bn xn et cn xn convergent si |x| < 1.

Soit M un majorant de la suite (|a n z0n |)n et r un réel positif tel que r < |z0 |. Si |z| r , on a : r n z n z n |an z n | = an z0n M . 9. an z n converge pour z0 ∈ C, elle converge normalement dans tout disque D (0, r) tel que r < |z0 |. 2. Si la série entière Démonstration. Si la série donc est bornée. an z0n converge, la suite (an z0n )n admet 0 pour limite, an z n une série entière. Il existe un unique élément R de R+ ∪ {+∞} possédant les propriétés suivantes : (i) Pour tout z ∈ C tel que |z| < R, la série an z n est absolument convergente.

1. La série an étant convergente, il résulte du lemme d’Abel que la série entière an xn a un rayon de convergence ρ au moins égal à 1. La suite (sn xn )n est bornée si x = 1, car la suite (s n )n converge. Il résulte à nouveau du lemme d’Abel que la série sn xn a un rayon de convergence au moins égal à 1. Comme sn − sn−1 = an pour n 1, il est alors clair que, si |x| < 1 : (1 − x) ∞ sn xn = f (x). n=0 2. Si |x| < 1, on a : ∞ 1 = xn . 1 − x n=0 Par conséquent, toujours pour |x| < 1 : ∞ f (x) − s = (sn − s)xn .

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